Il sistema trifase è una rete alimentata da tre generatori di tensione alternata isofrequenziali. Ad essa si deve, quasi integralmente, la produzione, la trasmissione e la distribuzione dell’energia elettrica. Le ragioni stanno nella semplicità costruttiva ed efficienza di generatori e motori, ed anche nel risparmio di rame che si ottiene con una linea trifase rispetto ad una monofase di ugual potenza.

Un sistema trifase è simmetrico quando i tre generatori hanno la stessa frequenza, il medesimo valore efficace e fasi che differiscono di 120° elettrici. Fissati arbitrariamente ingresso ed uscita di un generatore, l'ingresso e l'uscita dei due rimanenti sono determinati dalle condizioni fissate per la simmetria. Siano per noi 1, 2, 3 le uscite, 1', 2', 3' gli ingressi. Per un sistema simmetrico la somma vettoriale delle tensioni è nulla come si può verificare sia graficamente che analiticamente (vedi fig 8.3)

E 11' +E 22' +E 33' =0 8. 1

I tre generatori possono essere collegati a stella , unendo tra loro, ad esempio, gli ingressi.

fig. 8. 1

Alle uscite sono collegati tre fili, indicati con R, S, T (fig. 8.1), che costituiscono la linea trifase. Derivando un ulteriore filo dal punto comune, si ha una linea trifase a quattro fili. Il nuovo filo, indicato con N , è chiamato neutro . Nella figura il neutro è tracciato con il colore blu chiaro , per ricordare la prescrizione delle Norme CEI 64.8 che impone l'isolante di tale colore.

I tre generatori, possono essere collegati a triangolo, unendo gli ingressi di un generatore con l'uscita del generatore la cui fase ritarda di 120° . Dai punti di collegamento (1-3', 2-1', 3-2') sono derivati i tre fili che costituiscono la linea trifase. Il collegamento a triangolo chiude una maglia, ma se, come ipotizzato, le tensioni sono simmetriche, la loro somma vettoriale è nulla: nella maglia (il triangolo, essendo tre i suoi rami) non circola alcuna corrente.

fig. 8. 2

Osservazioni

• Si chiamano grandezze di fase le tensioni ai capi dei generatori e le correnti circolanti in essi; grandezze di linea sono le correnti nei fili di linea e le tensioni tra di essi, dette anche concatenate. Un sistema trifase è sempre definito dalla tensione concatenata.
• Nelle figure 8.1 ed 8.2 le correnti di fase sono indicate con I fi , le correnti di linea con I li , le tensioni di fase con E ii ' , le tensioni di linea con U ij : i pedicii’, i, j assumono i valori 1, 2, 3.
• Nel collegamento a stella con quattro fili sono disponibili due terne di tensioni: quelle concatenate e quelle di fase, nel collegamento a triangolo è disponibile la sola terna di tensioni concatenate. Esiste comunque un punto comune a cui possono essere riferiti i potenziali dei tre fili di linea: è il centro stella ideale del sistema (indicato con T nella figura)

La figura 8.3 rappresenta il diagramma vettoriale delle tensioni di fase ( o stellate) e di linea (o concatenate) con generatoricollegatiastellae con il filo neutro. Sono anche indicati i numeri complessi in forma polare (vedi art. 5) dei vettori rappresentativi delle tensioni. Il valore efficace della tensione dei generatori è indicato con E. Il piano di Gauss ( o dei numeri complessi) è scelto (arbitrariamente) in modo che l'asse immaginario I m coincida in direzione e verso con la tensione E 11'. NB :nelle formule delle figura con i diagrammi, sono usati gli operatori compless i a =e j120 ed a 2 =e j240 , (che non sono altro che i numeri complessi 1 /120° , 1 /240° ). Essi, moltiplicati per un vettore lo fanno ruotare, rispettivamente, di 120° e 240° in senso antiorario. Le tensioni concatenate si ricavano con il secondo principio di Kirchhoff.

fig. 8. 3

Esse sono la differenza vettoriale di due tensioni di fase. Per il sistema simmetrico , il loro valore efficace si ottiene moltiplicando la tensione di fase E per la radice quadrata di tre.

8. 2

Ecco il calcolo per la tensione concatenata U12

• Le tensioni concatenate costituiscono una terna simmetrica ruotata di 30° in anticipo rispetto alle tensioni stellate.
• Le correnti di linea coincidono con le correnti di fase: ILi=Ifi

Il diagramma vettoriale di fig. 8.4 è tracciato per i generatori collegati atriangolo.

fig. 8. 4

Le tensioni concatenate coincidono con le tensioni di fase, quindi si ha

U ij =E ii' 8. 3.

Le correnti di linea sono la differenza vettoriale di due correnti di fase. Se il carico che le determina è equilibrato , cioè se le tre impedenze che lo costituiscono sono identiche, il valore della corrente di linea si ottiene moltiplicando per la radice quadrata di tre il valore della corrente di fase.

8. 4

Considerando il centro stella ideale del sistema, indicato con la lettera T, il diagramma è lo stesso di quello che si ottiene con tre generatori a stella la cui tensione è quella dei generatori effettivi diviso la radice quadrata di tre e le cui fasi sono anticipate di 30°. La terna a stella può sostituire la terna dei generatori a triangolo. E' ciò che si fa quando si ricorre al circuito monofase equivalente.

Tre impedenze a stella costituiscono un carico trifase che può essere alimentato da una linea trifase a tre o a quattro fili. Se le tre impedenze sono uguali il carico si dice equilibrato .

Considereremo carichi equilibrati alimentati da sistemi simmetrici.

fig. 8. 5

Nel collegamento a stella le correnti di linea sono uguali alle correnti di fase ,

I li =I fi 8. 5

mentre le tensioni di fase , cioè le tensioni ai capi delle impedenze, (indicate con U zi ), coincidono con le tensioni stellate o, ciò che è lo stesso, le tensioni dei fili di fase rispetto al neutro (indicate con E iN ): U Zi =E iN ed è sempre U= Ö 3* E (U=1, 73 . E) dove U è il valore efficace della tensione di linea ed E quello della tensione di fase

Le correnti si calcolano con:

8. 6

Il grafico vettoriale di fig. 8.6, oltre a mostrare correnti di linea e tensioni, illustra calcoli e relazioni con maggiori dettagli.

fig. 8. 6

• Le correnti di linea (e di fase) formano una terna di vettori uguali tra loro e sfasati di 120°, ruotata rispetto alla terna delle tensioni di fase dell'angolo f  pari all'argomento delle impedenze.
• La loro somma vettoriale, che corrisponde alla corrente nel neutro , è nulla .
• Togliendo il filo neutro nulla cambia. Sia con tre che con quattro fili, per il calcolo delle correnti di linea, si opera come in un circuito monofase di impedenza Z alimentato dalla tensione stellata.

Tre impedenze collegate a triangolo costituiscono un carico trifase che può essere alimentato da una linea trifase a tre fili. Le tensioni di linea siano, per ipotesi simmetriche. I fili di linea sono collegati ai punti comuni a due impedenze consecutive. In questo collegamento le tensioni di fase coincidono con le tensioni concatenate ,

U zi =U ij (j=i+1) 8. 7

mentre le correnti di linea sono la differenza vettoriale di due correnti di f ase.

I li =I fi -I fj (j=i-1) 8. 8

fig. 8. 7

Come si può vedere dal diagramma vettoriale (fig. 8.8), sussiste tra i valori efficaci delle correnti di linea e di fase la relazione

8. 9

fig. 8. 8

Ecco i passaggi per il calcolo di I L1

• La terna delle correnti di linea è ruotata dell'argomento dell’impedenza, f, rispetto alla terna delle tensioni stellate delsistema.
• Se si trasforma il triangolo nella stella equivalente, il calcolo per delle correnti di linea è quello del collegamento a stella: ci si può perciò sempre riferire allo schema di fig. 8.9

fig. 8. 9

8. 10

detto Monofase equivalente :il generatore ha il valore della tensione stellata, mentre l'impedenza è quella di un ramo della stella equivalente. Infatti, sempre con riferimento al diagramma vettoriale, si può calcolare I L1 con la formula vista in precedenza. Le altre due si ottengono sfasandole rispetto a questa di +120° e - 120°.

Applicando il teorema di conservazione delle potenze attive e reattive (art. 7) si può scrivere l’espressione delle potenze in una sezione di linea trifase.

8. 11

Per il sistema trifase simmetrico ed equilibrato in cui i moduli delle tensioni di fase sono uguali tra loro come i moduli delle tensioni di linea, delle correnti di linea e delle correnti di fase, valgono le seguenti espressioni.

8. 12

E’ importante osservare che la potenza istantanea è costante e coincide con la potenza attiva P . Infatti per ogni fase la potenza istantanea è la somma della potenza attiva P e di una potenza fluttuante , corrispondente ad una sinusoide di frequenza doppia di quella della tensione e della corrente, e di ampiezza pari alla potenza apparente della fase.

Per una fase si ha:

Il primo termine dell'ultima espressione, è la potenza attiva ( P=E*I*cos f ), il secondo la potenza fluttuante. Ripetendo i calcoli per le altre fasi si ottiene un identico primo termine, mentre i secondi termini sono sfasati di 120°, in anticipo l'uno ed in ritardo l'altro. La loro somma è dunque nulla e la potenza istantanea coincide con la somma dei tre termini costanti.

Per misurare la potenza attiva in una linea monofase occorre un wattmetro, uno strumento a quattro morsetti facenti capo ad un circuito amperometrico e ad unovoltmetrico, che fornisce un'indicazione proporzionale al prodotto tra i valori efficaci della tensione applicata alla voltmetrica e dell'intensità di corrente che attraversa l'amperometrica, per il coseno dell'angolo di sfasamento (il fattore di potenza: f.p. o cosfì). La figura 8.10 indica come tensione e corrente devono essere applicate rispetto ai morsetti. contrassegnati per avere un'indicazione positiva, quando il valore dell'angolo di sfasamento, in valore assoluto, è inferiore a 90°.

fig. 8. 10

Per la misura della potenza attiva in un sistema trifase è sufficiente misurare la potenza di ogni fase, quindi effettuare la somma delle indicazioni. Questo vale sia per sistemi simmetrici ed equilibrati che dissimmetrici e squilibrati. Se il sistema è simmetrico ed equilibrato è sufficiente misurare la potenza attiva di una fase e moltiplicarla per tre. La figura 8.11 mostra l’inserzione di misura in un sistema a quattro fili.

fig. 8. 11

Possiamo osservare che i 3 wattmetri misurano la potenza di tre sistemi monofasi che hanno in comune il filo di ritorno. La tensione sulla voltmetrica è quella tra il filo in cui è inserita l'amperometrica ed il filo comune. L’osservazione suggerisce la stessa possibilità anche in un sistema a tre fili che dà origine all’ INSERZIONE ARON : .

fig. 8. 12

La potenza è la somma delle indicazioni dei due wattmetri. La somma è algebrica in quanto i wattmetri possono dare indicazioni negative: l'angolo di sfasamento tra le tensioni concatenate e le correnti di linea, in valore assoluto, può essere maggiore di 90°. Esaminiamo l’inserzione per sistema simmetrico ed equilibrato. Con riferimento al diagramma con il collegamento a stella dei carichi (fig. 8.6) e ricordando che la tensione U 13 è in opposizione di fase rispetto alla U 31 (il wattmetro A è per questo motivo detto anticiclico ) si ha:

8. 13

Il grafico delle indicazioni dei wattmetri A e B in funzione dell'argomento dell'impedenza del carico variabile da -90° a + 90° è mostrato in fig. 8.13 in cui le indicazioni dei wattmetri sono normalizzate (cioè relative al prodotto 1, 73 . U . I, potenza apparente ) :

fig. 8. 13

Osservazioni

• i due wattmetri danno la stessa indicazione quando il carico è puramente resistivo.
• Il wattmetro A (anticiclico) fornisce valori superiori a quelli di B (ciclico) per carichi ohmico-induttivi. Il wattmetro B segna più di A per carichi ohmico-capacitivi. Ciò fornisce il criterio per stabilire la natura del carico, quando è noto il senso ciclico delle fasi, o il senso ciclico delle fasi quando è nota la natura del carico
• Il wattmetro anticiclico fornisce un valore negativo per carichi capacitivi di argomento inferiore a -60°; il wattmetro ciclico per carichi induttivi di argomento superiore a +60°. Per carichi puramente reattivi A e B forniscono indicazioni uguali ed opposte, come deve essere essendo nulla la potenza attiva.

Tre generatori monofase di valore efficace E=220 V costituiscono una terna trifase ed alimentano un carico trifase equilibrato costituito da impedenze di valore Z=9+j9 ohm. Calcolare le correnti e le tensioni di linea e di fase sia nei generatori che nelle impedenze, con tutti i collegamenti possibili dei carichi e dei generatori, nonché le potenze apparenti, attive e reattive.

Sia i generatori che i carichi possono essere collegati a stella ed a triangolo: le combinazioni possibili sono quattro. Nella tab 8.1 sono riportate le grandezze calcolate. Ogni calcolo può essere condotto con riferimento al circuito monofase equivalente.

Tab. 8. 1

Una linea trifase alimenta con U=400 V, un motore trifase con P n =22 kW, un rendimento del h %=91% ed un f.p.=0, 9, e tre impedenze di valore 6+j12 ohm, collegate a triangolo. Calcolare la corrente di linea e la caduta% in linea sapendo che la stessa è lunga 120 m e che la resistenza e la reattanza chilometriche di un filo sono rispettivamente r L =0, 889 ohm/km ed x L =0, 106 ohm/km.

Soluzione :

usiamo il metodo delle potenze. Trasformiamo in forma polare l’impedenza del triangolo:

Z D =13, 4 /63, 4 ohm e troviamo anche l’equivalente a stella: Z Y =Z D / 3=2+j4=4, 43 /63, 4 ohm;

calcoliamo resistenza e reattanza della linea:

R L =l*r L =0, 12*0, 889=0, 107 ohm; X L =0, 12*0, 106=0, 0127 ohm

Determiniamo potenza attiva e reattiva assorbite dal motore e dal carico a triangolo. P am =100*P n / h %=2200/91=24, 2 kW; Qam=Pam*tan(arccos(0, 9))=24, 2*0, 484=11, 7kvar

P D =3*(U/Z D ) 2 *cos63, 4=3*(400/13, 4) 2 *0, 447=16kW; Q D =P D *tan /63, 4 =16*2=32 kvar

La potenza apparente in uscita è

S u = Ö (P u 2 +Q u 2 )= Ö (P am +P D ) 2 +(Q am +Q D ) 2 =Ö(40, 2 2 +43, 7 2 )=59, 4kVA

La corrente di linea è allora data da

I L =S u /( Ö 3*U)=59400/( Ö 3*400)=85, 7 A

La corrente determina una potenza attiva ed una reattiva per la linea.

P L =3*R L *I L 2 =3*0, 107*85, 7 2 =2350 W; QL=3*X L *I L 2 =3*0, 0127*85, 7 2 =280 var.

La potenza apparente in partenza è perciò:

La tensione in partenza vale allora

U i =Si/( Ö 3*I L )=61200/(1, 73*85, 7)=412V.

Perciò cdt%=100*(Ui-U)/U=1200/400=3%

Normalmente le tensioni sono simmetriche ed i carichi equilibrati. Si hanno dissimmetrie e squilibri in caso di guasti (rottura dell’isolamento) ed interruzioni di fasi; inoltre, con carichi monofase, l’equilibrio può essere solo di tipo statistico. E’ necessario affrontare lo studio della rete trifase anche nelle condizioni anomale di guasto per dimensionare le protezioni.Si può ricorrere al sistema di equazioni derivato dai principi di Kirchhoff, ma per utilizzare considerazioni e formule dei sistemi equilibrati, ed anche per comprendere meglio il contributo dei componenti di impianto, è utile la teoria delle componenti simmetriche, cui accenneremo sinteticamente.

Si può dimostrare che qualsiasi terna di vettori può essere scomposta in tre terne: la simmetrica diretta , la simmetrica inversa e l’omopolare.

La terna diretta è costituita da tre vettori uguali di modulo E d sfasati di 120° che si susseguono nel senso ciclico stabilito ; la terna inversa da tre vettori uguali di modulo E i sfasati di 120 ° che si susseguon o nel senso ciclico inverso ; la terna omopolare da tre vettori in fase di modulo E 0 .

In una rete trifase simmetrica ogni terna fa circolare correnti dello stesso tipo, cioè la terna diretta di tensioni produce una terna diretta di correnti di modulo I d , sfasate di un angolo q d rispetto alla terna delle delle tensioni, una terna inversa di correnti di modulo I i , sfasate di un angolo q i rispetto alla terna delle delle tensioni, una terna di sequenza zerodi correnti di modulo I o , sfasate di un angolo q 0 rispetto alla terna delle delle tensioni.

Nella fig.8.14 è riportata la scomposizione della terna di vettori E 1 , E 2 , E 3 .

fig. 8. 1

Si vede che

E 1 =E d1 +E i1 +E 0

E 2 =E d2 +E i2 +E 0

E 3 =E d3 +E i3 +E 0

e che

3 . E d =E 1 +E 2 /120 +E 3 /-120

3 . E i =E 1 +E 2 /-120 +E 3 /120

3 . E 0 =E 1 +E 2 +E 3

8. 14

Osservazioni

• La componente omopolare è nulla quando la somma dei vettori è nulla. Quindi le tensioni concatenate di un sistema trifase dissimmetrico hanno sempre componenteomopolare nulla.
• Le stelle che hanno gli stessi vertici differiscono per la terna omopolare.
• La stella con terna omopolare nulla ha il centro nel baricentro del triangolo che ha gli stessi vertici delle stelle. E' detta stella pura .
• Il vettore che caratterizza la ternaomopolare di una stella è rappresentato dal segmento che unisce il centro della stella al baricentro del triangolo.
• Le 8.14 valgono anche per le correnti I 1 , I 2 , I 3 .
• Per le reti simmetriche si può definire un’impedenza alla sequenza diretta, un impedenza alla sequenza inversa, una alla sequenza omopolare definite dalle:

8. 15

Si ottiene in definitiva che:

ogni sistema trifase dissimmetrico e squilibrato può scomporsi in tre sistemi trifasi che si riconducono allo studio separato di tre circuiti monofase corrispondenti, rispettivamente, alla sequenza diretta, alla sequenza inversa, alla sequenza omopolare .

Le impedenze di sequenza si ricavano sostituendo ai componenti di rete i circuiti equivalenti per quella sequenza. Per le sequenze dirette ed inverse, se non esistono organi meccanici in movimento, non ci sono diversità tra i circuiti equivalenti. In presenza organi meccanici mobili (motori asincroni e generatori sincroni) le impedenze equivalenti, diretta ed inversa, sono sensibilmente diverse. Per gli asincroni l’impedenza alla sequenza inversa corrisponde all’impedenza di cortocircuito, indipendentemente dal carico meccanico, mentre l’impedenza alla sequenza diretta è dipendente dal carico ed in normali condizioni di funzionamento è molto più elevata. Per le macchine sincrone la reattanza alla sequenza inversa è circa il 20% della reattanza sincrona, che rappresenta l’impedenza alla sequenza diretta. Sensibilmente diversa dalle precedenti è l’impedenza alla sequenza zero dipendente dallo stato del neutro.

Un guasto è un contatto tra le parti attive, quindi tra le fasi, tra le fasi ed il neutro, o tra le parti attive ed il terreno. Il contatto può avvenire con impedenza nulla (guasto franco, cortocircuito netto ) , o con impedenza diversa da zero. E’ generalmente valida l'ipotesi di generatori privi di tensioni di sequenza inversa e zero. Il guasto impone, nella sezione in cui avviene, determinati valori di tensione e corrente che definiscono, in generale, terne non simmetriche di entrambe. Sono presenti, sia per le tensioni che per le correnti, tutte le sequenze. Ogni tipo di guasto corrisponde formalmente ad un determinato collegamento di bipoli: il cortocircuito tra fase e terra corrisponde alla serie dei tre bipoli relativi ad ogni sequenza; il guasto tra due fasi corrisponde al parallelo dei bipoli di sequenza diretta ed inversa mentre il bipolo di sequenza zero è aperto ed isolato; il cortocircuito tra le tre fasi e terra, ai tre bipoli singolarmente cortocircuitati; nel cortocircuito tra le tre fasi senza il collegamento a terra il bipolo di sequenza zero è aperto.

Le interruzioni si studiano con lo stesso metodo: l’interruzione di una fase corrisponde al parallelo di tre bipoli di sequenza; quella tra due fasi alla serie. E’ bene osservare che i bipoli di sequenza per i guasti e per le interruzioni non sono gli stessi; sono ricavabili nota la rete ricorrendo al principio del generatore equivalente visto dai terminali interessati.

Come esempio di calcolo immaginiamo un guasto franco a terra in una linea MT 20 kV a neutro isolato, della fase 1. Nella sezione di guasto il bipolo alla sequenza diretta è costituito da un generatore con fem pari alla tensione a vuoto rispetto a terra (Ev) in serie alla reattanza longitudinale del trasformatore che alimenta la linea (X T ); il bipolo alla sequenza inversa dalla sola reattanza del trasformatore; il bipolo alla sequenza zero dalla reattanza X 0C dovuta alla capacità rispetto a terra. Il guasto corrisponde, come detto, alla serie dei tre bipoli: corrente diretta, inversa ed omopolare sono uguali a I d =I i =I 0 =E v /X dove X è la serie delle due X T con X 0C . Poiché X 0C > > X T si ha: I 1 =I d +I i +I 0 =3E v /X 0C . Se i conduttori di linea distano 5 m dal terreno e la linea è di 100 km si ha un valore X 0C =700 ohm. Quindi I 1 =3*20000/(1, 73*700)=49, 5 A.

Le reti trifasi pur potendo essere risolte in via generale con il sistema fornito dai principi di Kirchhoff, sono suddivise in reti più semplici. Si ricorre ancora una volta al principio di equivalenza, discusso nell’articolo 4. Il sistema trifase simmetrico ed equilibrato è ricondotto al monofase equivalente ed i sistemi dissimmetrici e squilibrati, alla determinazione di tre bipoli di sequenza monofase in grado di interpretare l’evento circuitale mediante il loro collegamento.