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Carico critico euleriano

Carico critico euleriano Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

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Fenomendo di instabilità a carico di punta

Si dice carico critico euleriano , per la teoria elastica della trave , quella forza di compressione il cui valore porta indefinitamente ad inflessione il solido snello su cui agisce, generando instabilità a carico di punta .

Caso in assenza di deformazioni taglianti Descrizione

Schema statico

Prendendo in considerazione un’asta realizzata con un materiale elastico lineare, soggetta ad uno sforzo normale centrato N e vincolata agli estremi con lo schema di semplice appoggio, la sollecitazione, nell’ipotesi di asta indeformata vale semplicemente σ = N / A ( sforzo normale ).

Supponendo che l’asta subisca uno sbandamento in modo che la sua linea d’asse (deformata) sia descritta dalla curva di equazione u ( x ) , la forza N produce anche un momento N u ( x ) , a cui si oppone il momento interno che, se si confonde la curvatura con la derivata seconda, vale E J u ''( x ) .

La condizione di equilibrio, per cui la configurazione deformata sia in equilibrio con la forza esterna, impone che la somma delle forze, interna ed esterna, sia nulla:

$E J u'' (x) + N u (x) = 0 \ \!$

La cui soluzione, con le condizioni al contorno u (0) = u ( L ) = 0 è

$u (x) = A \cos(\alpha x) + B \mathrm{sen}(\alpha x) \ \!$

dove

$\alpha = \sqrt{\frac{N}{EJ}}$

ed A e B sono costanti che dipendono dalle condizioni al contorno. Dalla condizione u (0) = A = 0 , segue che la prima delle due costanti è nulla. Considerando che u ''( L ) = B sin(α L ) = 0 , che ha due soluzioni possibili:

se $\mathrm{sen}(\alpha L) \ne 0$ , deve risultare B = 0 . In questo caso la soluzione dell’equazione è $u (x) \equiv 0$ , ovvero la sola configurazione di equilibrio è quella indeformata.

se sen(α L ) = 0 allora la condizione al contorno è soddisfatta per qualunque

valore di B, pertanto esistono infinite configurazioni equilibrate (equilibrio indifferente).

La condizione s i n (α L ) = 0 implica che α L = n π , dove n indica un intero positivo. Ricordando la definizione di α , si ha che la precedente condizione è soddisfatta se

$\frac{N}{EJ} L^2 = n^2 \pi^2$

e questo si verifica per quei valori di N tali che

$N_n = n^2 \pi^2 \frac{EJ}{L^2}$

Il più piccolo dei valori di N n corrisponde al passaggio da una condizione di equilibrio stabile ad una instabile. Tale valore è quello per n = 1 , ed è detto il carico critico euleriano dell’asta compressa:

$N_{cr} = \pi^2 \frac{EJ_{\min}}{l^2_1}$

Indicando con N c r la forza critica, con J m i n il minimo fra i momenti d'inerzia della sezione trasversale, E il modulo di elasticità longitudinale, l 1 una dimensione da porre in relazione alla lunghezza effettiva l del solido e ai tipi di vincolo di cui questo è dotato, secondo la formula di Eulero, dove:

l 1 = 2 l per trave incastrata ad un estremo e libera all'altro;
l 1 = l per trave incerniera alle due estremità;
l 1 = 0,7 l per trave incastrata ad un estremo ed articolata all'altro;
l 1 = 0,5 l per trave incastrata ad ambedue gli estremi.

Tensione critica

Dal carico critico ne deriva la tensione critica, cioè il valore della tensione raggiunto dall'asta quando N = N c r

$\sigma_{cr} = \frac{N_{cr}}{A} = \pi^2 \frac{EJ_{\min}}{l^2_1 A} = \pi^2 \frac{E}{\lambda^2}$

con

$\lambda^2 = \frac{l^2_1 A}{J} = \frac{l^2_1}{\rho^2}.$

La quantità λ viene chiamata "snellezza dell'asta" o semplicemente "snellezza".

Caso con deformazioni taglianti Descrizione

L'equazione della linea elastica è

$\frac{d^2u(x)}{dx^2} = -\frac{M(x)}{EJ} + \frac{\chi}{GA} \frac{dT(x)}{dx}$

Sostiuendo l'espressione di M e di T si ottiene

$\frac{d^2u(x)}{dx^2} = -\frac{N}{EJ}u(x) + \frac{\chi}{GA} N\frac{ d^2u(x)}{dx^2}$

Da quest'ultima relazione si ottiene l'equazione differenziale del problema:

$\frac{d^2u(x)}{dx^2} \left( 1 - N \frac{\chi}{GA} \right) = -\frac{N}{EJ}u(x) \Rightarrow \frac{d^2u(x)}{dx^2} + \frac{N}{EJ \left( 1 - N \frac{\chi}{GA} \right)}u(x) = 0 \Rightarrow \frac{d^2u(x)}{dx^2} + \alpha^2 u(x) = 0$

Per valori pari a $\alpha^2 = \frac{N}{EJ \left( 1 - N \frac{\chi}{GA} \right)}$ si ottiene l'equilibrio. La soluzione dell'equazione differenziale è del tipo

u ( x ) = A cos(α x ) + B sen(α x )

A e B sono costanti che dipendono dalle condizioni al contorno. Dalla condizione u (0) = A = 0 , segue che la prima delle due costanti è nulla. Considerando che u ( L ) = B s i n (α L ) = 0 , che ha due soluzioni possibili:

se $\mathrm{sen} (\alpha L) \ne 0$ , deve risultare B = 0 . In questo caso la soluzione dell’equazione è $u (x) \equiv 0$ , ovvero la sola configurazione di equilibrio è quella indeformata.

se sen(α L ) = 0 allora la condizione al contorno è soddisfatta per qualunque valore di B, pertanto esistono infinite configurazioni equilibrate (equilibrio indifferente).

La condizione sen(α L ) = 0 implica che α L = n π , dove n indica un intero positivo. Ricordando la definizione di α , si ha che la precedente condizione è soddisfatta se

$\frac{N_n}{EJ \left( 1 - N_n \frac{\chi}{GA} \right)} L^2 = n^2 \pi^2$

$N_{cr} = \pi^2 \frac{EJ_{\min}}{l^2_1} \frac{1}{\left[ 1 +\pi^2 \left( \frac{EJ_{\min}}{l^2_1} \frac{\chi}{GA} \right)\right]}$ Tensione critica

Dal carico critico ne deriva la tensione critica, cioè il valore della tensione raggiunto dall'asta quando N = N c r

$\sigma_{cr} = \frac{N_{cr}}{A} = N_{cr} = \pi^2 \frac{EJ_{\min}}{l^2_1 A} \frac{1}{\left[ 1 +\pi^2 \left( \frac{EJ_{\min}}{l^2_1} \frac{\chi}{GA} \right)\right]} = \frac {\pi^2 \frac{E}{\lambda^2}}{1 + \frac{\chi}{GA} A \frac{E}{\lambda^2}\pi^2} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2 + \frac{\chi}{GA} EA \pi^2} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2_{id}}$ Voci correlate

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